academiadirac.cat

Transformacions de la variable independent

Desplaçament horitzontal

Si li sumem o restem una constant a la variable independent el senyal es produirà un desplaçament horitzontal del senyal al llarg de la variable independent.

y(t)=x(t\pm t_0), \forall t\in \R

y[n]=x[n\pm n_0], \forall n\in \Z

Si la constant és negativa el senyal s’endarrereix i, per tant, es desplaça cap a la dreta de la variable independent (en sentit positiu).

Si la constant és positiva el senyal s’avança i, per tant, es desplaça cap a l’esquerra de la variable independent (en sentit negatiu).

Per ajudar a entendre aquest comportament contrari farem servir un exemple:

y(t)=x(t-4)

y(4)=x(4-4)=x(0)

Tal com es pot apreciar en l’exemple, si endarrerim el senyal 4 segons, quan el senyal es trobi a $y(4)$ el senyal sense endarrerir es troba a $x(0)$ i, per tant, el que hem fet és provocar que el senyal es produeixi 4 segons més tard.

Vegeu-ho amb un exemple de la funció:

x(t)=e^{-t^2}

Si l’endarrerim un segon:

Si l'avancem un segon:

Reflexió horitzontal

Si canviem el signe de la variable independent es produeix una reflexió horitzontal del senyal girant 180 graus sobre l'eix d'ordenades.

y(t)=x(-t), \forall t\in \R

y[n]=x[-n], \forall n\in \Z

Vegeu-ho amb un altre exemple de funció:

x(t)=t^2+8t+4

x(-t)=t^2-8t+4

Escalat de la variable independent

Si multipliquem la variable independent per una constant "a", dins els nombres reals, es produeix una compressió o expansió del senyal.

y(t)=x(at), \forall t\in \R

Si $0< a < 1$ el senyal s'expandeix horitzontalment

Si $a \geq 1$ el senyal es comprimeix horitzontalment

Vegeu-ho amb el primer senyal:

x(t)=e^{-t^2}

marzo 22, 2026

Exercicis de representació gràfica de senyals

Representar gràficament els següents senyals analògics polinòmics en l’interval [-1, 1]:

x_1(t)=-\frac{2}{3}

x_2(t)=t^3-2t^2+t+0.5

Per representar aquests dos senyals analògics farem servir Matlab.

En primer lloc, es crea un vector t que estigui comprès entre -1 i 1 amb 400 valors equiespaiats.

t = linspace(-1, 1, 400);

Posteriorment es defineixen els dos senyals:

x1 = -2/3 * ones(size(t));
x2 = 0.5 + t - 2*t.^2 + t.^3;

S’obre una finestra de representació gràfica:

figure

Es representen els dos gràfics amb una mateixa finestra gràcies a la instrucció «hold on».

plot(t, x1, 'LineWidth', 1.5)
hold on
plot(t, x2, 'LineWidth', 1.5)

Posteriorment, es configuren opcions de format com les etiquetes de l’eix, el títol, la llegenda i la quadrícula del gràfic.

grid on
xlabel('t')
ylabel('Amplitud')
legend('x_1(t)', 'x_2(t)')
title('x_1(t) & x_2(t)')

Després d’introduir tot el codi anterior Matlab representarà el senyal en una finestra a part:

Representar gràficament els següents senyals digitals polinòmics en l’interval [-10,10].

x_1[n]=1+2n

x_2[n]=3-n-\frac{1}{10}n^2

En el cas de senyals digitals o discrets en lloc de definir la variable independent contínua es defineixen tots els valors enters entre -10 i 10.

n = -10:10;

Es defineixen les dues funcions:

x1 = 1 + 2*n;
x2 = 3 - n - (1/10)*n.^2;

Es representen les dues funcions:

figure;
stem(n, x1, 'filled')
hold on
stem(n, x2, 'r', 'filled')

S’afegeixen les opcions de forma del gràfic:

grid on
xlabel('n')
ylabel('Amplitud')
title('x_1[n] & x_2[n]')
legend('x_1[n]', 'x_2[n]')

Representar gràficament els següents senyals exponencials. Els analògics entre t = [-10,10] i els digitals n = [-6,6].

x_3(t)=e^t

x_4(t)=(\frac{1}{e})^t

x_3[n]=(\frac{1}{2})^n

x_4[n]=2^n

Primer es representen els dos senyals analògics:

t = linspace(-10, 10, 400);
x3 = exp(t);
x4 = exp(-t);
figure
plot(t, x3, 'LineWidth', 1.5)
hold on
plot(t, x4, 'LineWidth', 1.5)
grid on
xlabel('t')
ylabel('Amplitud')
legend('x_3(t)', 'x_4(t)')
title('x_3(t) & x_4(t)')

Posteriorment es representen els senyals digitals:

n = -6:6;
x1 = (1/2).^n;
x2 = 2.^n;
figure
stem(n, x1, 'filled', 'LineWidth', 1.2)
hold on
stem(n, x2, 'r', 'filled', 'LineWidth', 1.2)
grid on
xlabel('n')
ylabel('Amplitud')
title('x_3[n] & x_4[n]')
legend('(1/2)^n', '2^n')

Representar gràficament els següents senyals per intervals entre t = [-1,3]:

x(t)=\begin{cases} 0 & t<0 \\ 1 & 0\le t<2 \\ 0 & 2\le t \\ \end{cases}

Representar el senyal:

t = -1:0.01:3;
x = zeros(size(t));
x(t >= 0 & t < 2) = 1;
figure
plot(t, x, 'LineWidth', 2)
grid on
xlabel('t')
ylabel('x(t)')
title('x(t)')

marzo 21, 2026

Operacions amb senyals

Tenint en compte que un senyal no és res més que una funció, les operacions bàsiques que son aplicables a les funcions, també ho son als senyals. Per tant, podem parlar de sumes, restes, multiplicacions, divisions i potències de senyals tan si son analògics com digitals.

	Analògics	Digitals
Suma	$y(t)=x_1 (t)+x_2 (t)$	$y[n]=x_1 [n]+x_2 [n]$
Resta	$y(t)=x_1 (t)-x_2 (t)$	$y[n]=x_1 [n]-x_2 [n]$
Multiplicació	$y(t)=x_1 (t)*x_2 (t)$	$y[n]=x_1 [n]*x_2 [n]$
Divisió	$y(t)= \frac{x_1 (t)}{x_2 (t)}$	$y[n]= \frac{x_1 [n]}{x_2 [n]}$
Potència	$y(t)=x_1 (t)^{x_2 (t)}$	$y[n]=x_1 [n]^{x_2 [n]}$

Per entendre millor el canvi que produeix cadascuna d’aquestes operacions sobre els diferents senyals, els representarem gràficament.

Les gràfiques presenten dos senyals en format digital i analògic. Es tracta de dos senyals de tipus polinòmic, un de grau dos i l'altre de grau u.

$x_1 (t)=t^2+5t+20$ / $x_1 [n]=n^2+5n+20$
$x_2 (t)=3t+10$ / $x_2[n]=3n+10$

Si sumem els senyals obtenim un senyal amb un nou polinomi de grau dos.

x(t)= t^2 + 8t + 30

x[n]=n^2+8n+30

Passa el mateix amb la resta de senyals, quan restem els dos polinomis, obtenim un nou polinomi de grau dos:

x(t)= t^2 + 2t + 10

x [n]=n^2+2n+10

Amb la multiplicació de senyals, s’obté un polinomi de grau tres:

x(t)= (t^2 + 5t + 20) * (3t+10)

x(t)= 3t^3+25t^2+110t+200

x[n]=3n^3+25n^2+110n+200

La divisió transforma el polinomi en una funció racional que modifica completament el tipus de senyal:

x(t)= \frac{t^2 + 5t + 20}{3t+10}

x(t)= \frac{t}{3}+\frac{5}{9}+\frac{130}{9(3t+10)}

x[n]= \frac{n}{3}+\frac{5}{9}+\frac{130}{9(3n+10)}

Desplaçament vertical d’un senyal

La suma d’un senyal per una constant provoca un desplaçament vertical del senyal.

y(t)= x(t)+K

El desplaçament depèn del signe de la constant:

Si $K<0$ el senyal baixa.
Si $K>0$ el senyal puja.

Si apliquem la suma d’una constant al senyal $x_1(t)$ , podem observar com es produeix un desplaçament vertical del senyal.

Escalat d’un senyal

El producte d'un senyal per una constant resulta en un escalat del senyal.

y(t)= Kx(t)

Aquest escalat es produeix verticalment i depèn del valor de la constant:

Si $|K|>1$ el senyal s’expandeix verticalment i per tant s’amplifica.
Si $|K|<1$ el senyal es comprimeix verticalment i per tant s’atenua.

febrero 23, 2026

Què és un senyal?

Un senyal és una funció que representa informació real sobre algun fenomen de la naturalesa. Els senyals són magnituds físiques que poden representar, per exemple, el voltatge d’un circuit elèctric o la temperatura d’una estació meteorològica.

Aquestes magnituds sempre són representades al llarg d’una variable independent, que en la majoria dels casos, és el temps en segons.

Tot i que hi ha senyals que poden contenir més d’una variable independent (multidimensionals). De moment ens centrarem només en els senyals unidimensionals, és a dir, en aquells que només depenen d’una sola variable.

En funció de la naturalesa de la variable independent parlarem de senyals analògics, on la variable és contínua i pertany a tots els nombres reals. O bé de senyals digitals, on la variable és discreta i pren un conjunt de valors finits.

Pel que fa a la representació gràfica dels diferents senyals que tractarem i als exercicis que resoldrem, és important definir la simbologia dels paràmetres que farem servir.

t: temps en senyals continus mesurable en segons on $t ∈ \R$ .
n: temps en senyals discrets mesurable en mostres on $n ∈ \Z$
Ω: freqüència en senyals analògics mesurable en Hertzs o Radiants per segon on $Ω ∈\R$ .
ω: freqüència en senyals digitals mesurable en radiants o mostres on $ω ∈ \Z$ .
s: variable de l’espai transformat de Laplace en senyals analògics, on $s ∈ \R$ .

febrero 21, 2026